石家庄市第二十三中学 $2023$ 年三月月考，对数学试卷的简要分析和问题解决。

• 一、选择题（$2\times16=32$）
• 二、填空题（共 $12$ 分）
• 三、解答题（$3\times8+12+2\times10=56$）

总的来说，这次月考数学难度并不算大，细节题较多，计算时保持敏锐的数感，情况要找全；抓住题目切入点，把握技巧，胆大心细，成绩不会特别差。

个人觉得这次考试较难的题目有：选择第 $13$、$15$ 题；填空第 $20$ 题；解答题第 $26$ 题第 $(2)$ 问。

考察知识面比较广，主要是：

• 二元一次方程组：解二元一次方程组、二元一次不定方程、含参方程组、构造二元一次方程组。
• 平行线和相交线：垂直的定义、平行线判定、平行线性质、垂线段最短、说理依据。
• 整式乘法：$a^ma^n=a^{m+n}$、$(ab)^m=a^mb^m$、$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$、$(a^m)^n=a^{mn}$。

一、选择题（$2\times16=32$）

1. $A$

   根据常识 $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$ 得到 $(-2)^{-1}=\frac{1}{(-2)^1}=-\frac{1}{2}$。

   故选：$A$

2. $B$

   其中，$(2)$ 不是命题，其他的都是。

   故选：$B$

3. $C$

   因为 $\angle3+\angle4=180°$

   所以 $a\ //\ b$（同旁内角互补，两直线平行）

   所以 $\angle1=\angle2$（两直线平行，同位角相等）

   因为 $\angle1=100°$

   所以 $\angle2=100°$（等量代换）

   故选：$C$

4. $C$

   $a^2+a^2=2a^2$；

   $a^3a^3=a^6$；

   $(a^2)^3=a^6$。

   故选：$C$

5. $A$

   过三角板的直角顶点 $G$ 作直线交 $AF$ 于点 $H$，使 $BC//GH$。则有：

   $\angle ABC=\angle BGH$，$\angle FED=\angle EGH$ （两直线平行，同位角相等）

   因为 $\angle AGF=\angle BGH+\angle EGH$

   又因为 $\angle AGF=90°$ （已知）

   所以 $\angle BGH+\angle EGH=90°$ 即 $\angle ABC+\angle FED=90°$。

   故选：$A$

6. $D$

   $5x-y=3z$ 中含有三个未知数，舍去；

   $x^2-y=3$ 中未知数 $x$ 的指数为 $2$，舍去；

   $x+\frac{1}{y}=3$ 中未知数 $y$ 的指数为 $-1$，舍去。

   故选：$D$

7. $C$

   $(2)$、$(3)$、$(4)$ 满足题意。

   故选：$C$

8. $C$

   因为 $a^m=4$

   所以 $a^{3m}=(a^m)^3=4^3=64$

   因为 $a^n=2$

   所以 $a^{2n}=(a^n)^2=2^2=4$

   所以 $a^{3m-2n}=\frac{a^{3m}}{a^{2n}}=\frac{64}{4}=16$

   故选：$C$

9. $D$

   当 $\angle1=155°$ 时，$DE\ //\ BC$。

   故选：$D$

10. $D$

    $(1)$ 中：$b=a+1 \to 5^b=5\times5^a$。代入后等式不成立，舍去；

    $(2)$ 中：$c=a+2\to5^c=25\times5^a$，代入后等式不成立，舍去；

    $(3)$ 中：成立；

    $(4)$ 中：$b+c=2a+3\to5^b5^c=125(5^a)^2$，代入后不成立，舍去。

    故选：$D$

11. $A$

    因为 $\angle AOC=\angle1=38°$（对顶角相等）

    所以 $\angle AOE=2\angle AOC=76°$

    所以 $\angle EOD=180°-\angle AOE-\angle1=66°$

    故选：$A$

12. $C$

    简单粗暴的方法：一个个代入进去试。

    其实这就是所谓的“向下取整，C++函数叫 floor。

    不是你又考编程题干嘛啊！

    故选：$C$

13. $D$

    设小长方形的长为 $x$，宽为 $y$

    则有大长方形的长为 $(x+4y)$，宽为 $(x+3y)$

    由题意得 $\left\{\begin{matrix} 2x+2y=14 \\(x+4y)-(x+3y)=2 \end{matrix}\right.$

    解得 $\left\{\begin{matrix} x=5 \\y=2 \end{matrix}\right.$

    代入得 $S_{长方形\ ABCD}=(x+3y)(x+4y)=11\times13=143$

    所以 $S_{空白}=S_{长方形\ ABCD}-9S_{小长方形}=143-9\times5\times2=53$

    故选：$D$

14. $C$

    两个方程相减，得到 $x-y=1$

    联立 $x+y=2$，解得 $\left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{2} \\y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

    所以 $k=2x+3y=\frac{9}{2}$

    故选：$C$

15. $B$

    过 $E$ 作 $l_1$ 交 $BF$ 于 $M$，使 $l_1\ //\ AB$（易证 $l_1\ //\ CD$）

    过 $F$ 作 $l_2$ 交 $ED$ 于 $N$，使 $l_2\ //\ CD$（易证 $l_2\ //\ AB$）

    设 $\angle ABE=\angle EBF=\alpha$，$\angle CDF=\angle FDE=\beta$ （易证 $\angle ABE=\angle EBF$，$\angle CDF=\angle FDE$）

    则有 $\angle BEM=\alpha$，$\angle DFN=\beta$ 且 $\angle MED=2\beta$，$\angle BFN=2\alpha$（两直线平行，内错角相等）

    所以 $\angle BED=\alpha+2\beta$，$\angle BFD=2\alpha+\beta$

    因为 $2\angle BED-\angle BFD=48°$

    所以 $2(\alpha+2\beta)-(2\alpha+\beta)=48°$

    即 $3\beta=48°$，$\beta=16°$

    所以 $\angle CDE=2\beta=32°$

    故选：$B$

16. $B$

    $3^{50}=(3^5)^{10}=243^{10}$

    $4^{40}=(4^4)^{10}=256^{10}$

    $5^{30}=(5^3)^{10}=125^{10}$

    因为 $125<243<256$

    所以 $5^{30}<3^{50}<4^{40}$

    故选：$B$

二、填空题（共 $12$ 分）

17. 如果两个角为锐角，那么它们互余。

18. $-\frac{1}{32}$

    原式

    $=(-\frac{1}{8})^2\times2\times(-\frac{1}{8}\times2\times4)^{2021}$

    $=\frac{1}{64}\times2\times(-1)$

    $=-\frac{1}{32}$

19. $4.8$

    $h_{AB}=\frac{2S_{Rt\triangle ABM}}{AB}=4.8$

20. 设 $\angle AEM=\angle1$，$\angle CFM=\angle2$

    $(1)$ 过 $M$ 在四边形 $EMFN$ 内部作直线 $MQ$，使 $MQ\ //\ AB$ （易证 $l_1\ //\ CD$）

    所以 $\angle1=\angle EMQ$，$\angle2=\angle FMQ$ （两直线平行，内错角相等）

    因为 优角 $\angle EMF=\angle EMQ+\angle FMQ=\angle1+\angle2$

    所以 $\angle EMF=360°-(\angle1+\angle2)$

    因为 $\angle EMF=90°$（已知）

    所以 $360°-(\angle1+\angle2)=90°$

    所以 $\angle 1+\angle 2=270°$ 即 $\angle AEM+\angle CFM=270°$

    $(2)$ 根据“拐点模型”得 $\angle NEB+\angle NFD=\angle N$ （太麻烦了不想写）

    由 $(1)$ 得 $\angle1+\angle2=360°-n$

    因为 $\angle N=\angle NEB+\angle NFD=\frac{1}{2}\angle MFD+\frac{1}{2}\angle MEB$

    又因为 $\frac{1}{2}\angle MFD+\frac{1}{2}\angle MEB=\frac{1}{2}[(180°-\angle1)+(180°-\angle2)]=180°-\frac{1}{2}(\angle1+\angle2)$

    所以 $\angle N=180°-\frac{1}{2}(360°-n)=180°-180°+\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}n$

三、解答题（$3\times8+12+2\times10=56$）

1. 画图题太简单，跳过。

2. 计算：

   题号	$①$	$②$
   $(1)$	原式 $=37x^6y^{12}$	原式 $=-(x-y)^2$
   $(2)$	$\left\{\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.$	$\left\{\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.$

3. $(1)$

   左 $=2^{x+3}$

   右 $=2^5$

   因为 左 $=$ 右

   所以 $2^{x+3}=2^5$ 即 $x+3=5$

   所以 $x=2$

   $(2)$

   左 $=2\times2^{x+1}-2^{x+1}=2^{x+1}$

   右 $=2^4$

   因为 左 $=$ 右

   所以 $2^{x+1}=2^4$ 即 $x+1=4$

   所以 $x=3$

   $(3)$

   因为 $x=5^m-3$

   所以 $5^m=x+3$

   所以 $25^m=(5^2)^m=(5^m)^2=(x+3)^2$

   所以 $y=-(x+3)^2$

4. 已知；$\angle DEC$；两直线平行，内错角相等；$\angle DEC$；等量代换；$AB$；$DE$；同位角相等，两直线平行。

5. $EG\perp AC$，理由如下：

   因为 $\angle CEB=\angle FDB=90°$

   所以 $CE\ //\ DF$ （同位角相等，两直线平行）

   所以 $\angle DFC+\angle ECF=180°$ 即 $\angle ECF=180°-\angle DFC$（两直线平行，同旁内角互补）

   因为 $\angle ACB=\angle ACE+\angle ECF=90°$

   所以 $\angle ACE+180°-\angle DFC=90°$ 即 $\angle ACE=\angle DFC-90°$

   因为 $\angle CGE+\angle GEC+\angle ACE=180°$（三角形内角和定理）

   所以 $\angle CGE+\angle GEC+\angle DFC=270°$

   因为 $\angle GEC+\angle DFC=180°$（已知）

   所以 $\angle CGE+180°=270°$ 即 $\angle CGE=90°$

   所以 $EG\perp AC$（垂直的定义）

6. 设甲需 $x$ 台，乙需 $y$ 台

   $(1)$

   由题意得 $\left\{\begin{matrix}x+y=8\\160x+240y=1760\end{matrix}\right.$

   解得 $\left\{\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.$

   答：甲需 $2$ 台，乙需 $6$ 台

   $(2)$

   由题意得 $160x+240y=1760\ ①$ 且 $190x+260y\le2000\ ②$

   化简 $①②$：$2x+3y=22\ ③$ 且 $19x+26y\le200\ ④$

   求 $③$ 的非负整数解，得：$\left\{\begin{matrix}x=11\\y=0\end{matrix}\right.$，$\left\{\begin{matrix}x=8\\y=2\end{matrix}\right.$，$\left\{\begin{matrix}x=5\\y=4\end{matrix}\right.$ 或 $\left\{\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.$

   $\text{I.}$ 当 $\left\{\begin{matrix}x=11\\y=0\end{matrix}\right.$ 时（舍）：

   $19x+26y=19\times11+0=209>200$，不合题意，舍去；

   $\text{II.}$ 当 $\left\{\begin{matrix}x=8\\y=2\end{matrix}\right.$ 时（舍）：

   $19x+26y=152+52=204>200$，不合题意，舍去；

   $\text{III.}$ 当 $\left\{\begin{matrix}x=5\\y=4\end{matrix}\right.$ 时：

   $19x+26y=95+104=199<200$

   $\text{IV.}$ 当 $\left\{\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.$ 时：

   $19x+26y=38+156=194<200$

   综上，共有 $2$ 种租用方案。

你学懂了吗？

预祝同学们考试取得优异成绩！